Ключевое число главы — одна треть. Она появляется у всех тел, сходящихся в вершину, и её забывают чаще, чем ошибаются в самих вычислениях.
Что нужно знать
- Объём наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на боковое ребро; также $V = S_{\text{осн}} \cdot h$.
- Объём пирамиды: $V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$.
- Высота пирамиды — перпендикуляр из вершины к плоскости основания, а не боковое ребро и не апофема.
- Объём конуса: $V = \dfrac{1}{3} \pi R^2 h$ — тот же множитель.
- Объём усечённой пирамиды: $V = \dfrac{1}{3} h \left(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}\right)$.
- Объём усечённого конуса: $V = \dfrac{1}{3}\pi h \left(R^2 + Rr + r^2\right)$.
- Пирамида составляет треть призмы с тем же основанием и той же высотой — это и объясняет множитель.
Где чаще всего ошибаются
- Забывают множитель $\dfrac{1}{3}$ и получают втрое больший объём.
- Берут высотой пирамиды боковое ребро или апофему.
- В формуле усечённой пирамиды пропускают слагаемое $\sqrt{S_1 S_2}$.
- Применяют формулу правильной пирамиды к наклонной, у которой высота падает вне центра основания.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Геометрия · 11 класс · Атанасян, 2024 · Глава 8 · Объёмы наклонной призмы, пирамиды и конуса