Завершение курса: объём шара и площадь сферы, а также объёмы его частей. Формулы короткие, но степени в них разные, и именно это различие проверяют на экзамене.
Что нужно знать
- Объём шара: $V = \dfrac{4}{3}\pi R^3$.
- Площадь сферы: $S = 4\pi R^2$.
- Шаровой сегмент отсекается плоскостью; при высоте сегмента $h$ его объём равен $V = \pi h^2\left(R - \dfrac{h}{3}\right)$.
- Шаровой сектор состоит из сегмента и конуса с вершиной в центре: $V = \dfrac{2}{3}\pi R^2 h$.
- Площадь сферического сегмента (шарового пояса высотой $h$): $S = 2\pi R h$.
- Объём шара составляет $\dfrac{2}{3}$ объёма описанного около него цилиндра, а площадь сферы равна боковой поверхности этого цилиндра.
- При подобии объёмы относятся как куб коэффициента, площади — как квадрат.
Где чаще всего ошибаются
- Меняют местами степени: пишут $4\pi R^3$ для площади или $\dfrac{4}{3}\pi R^2$ для объёма.
- Подставляют диаметр вместо радиуса — ответ ошибается в восемь раз.
- В формулах сегмента путают высоту сегмента $h$ с радиусом шара.
- Считают, что при удвоении радиуса объём удваивается.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Геометрия · 11 класс · Атанасян, 2024 · Глава 9 · Объём шара и площадь сферы