Сфера и шар, 11 класс — тест по геометрии

Сфера — поверхность, шар — тело, ограниченное ею. Различать их приходится буквально в каждой задаче: площадь считают у сферы, объём — у шара, и подстановка одной формулы вместо другой даёт бессмысленный ответ.

Что проверяется

Объём шара по радиусу и обратная задача. Площадь сферы. Уравнение сферы с центром в начале координат и в произвольной точке. Условие касания плоскости и сферы. Радиус сечения шара плоскостью. Взаимное расположение сферы и плоскости в зависимости от расстояния до центра. Изменение объёма при увеличении радиуса.

Куб радиуса и его последствия

Объём шара пропорционален кубу радиуса, поэтому при увеличении радиуса вдвое объём возрастает в восемь раз, а площадь сферы — только вчетверо. Разница между четырьмя и восемью здесь не случайна: площадь зависит от квадрата, объём — от куба. Оба задания в работе стоят рядом.

Сечение шара плоскостью

Если плоскость пересекает шар, в сечении получается круг, и его радиус находится по теореме Пифагора: квадрат радиуса шара минус квадрат расстояния от центра до плоскости. Когда это расстояние равно радиусу, плоскость касается сферы в единственной точке, а когда больше — общих точек нет вовсе.

Проверка

Ответ — число или коэффициент при пи, как указано в условии, либо выбор варианта. Числа подобраны так, чтобы дроби сокращались нацело. Баллы переводятся в отметку по шкале пятьдесят, семьдесят и восемьдесят пять процентов.

Технические возможности

Пройти комплект можно с любого устройства — настольного компьютера, ноутбука, планшета или смартфона. Тест можно открыть на заданный промежуток времени — это удобно для выполнения дома. Встроенная защита от списывания отмечает, когда учащийся уходит со страницы теста в другие окна или программы.