Объём шара и площадь сферы различаются степенью радиуса, и почти все задания главы проверяют именно это: что происходит с каждой величиной, когда меняется радиус.
Что нужно знать
- $V = \tfrac43 \pi R^3$: при $R = 3$ — $36\pi$.
- $S = 4\pi R^2$: при $R = 5$ — $100\pi$. Обратно: $S = 64\pi$ даёт $R^2 = 16$, $R = 4$.
- Радиус вдвое больше: объём в 8 раз, площадь в 4 раза.
- Радиус сечения $\sqrt{R^2 - d^2}$: при $R = 5$ и $d = 3$ он 4.
- $x^2 + y^2 + z^2 = 49$ — сфера радиуса 7 с центром в начале координат.
- Касательная плоскость имеет со сферой одну общую точку; при расстоянии больше радиуса общих точек нет.
- Шар — тело, сфера — его поверхность.
Где чаще всего ошибаются
- Берут радиус 49 вместо 7.
- При удвоении радиуса увеличивают площадь в 8 раз.
- Из $S = 64\pi$ получают $R = 8$, забыв разделить на 4.
- Называют шаром поверхность.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Геометрия · 11 класс · Бутузов, 2022 · Глава 3 (ч. 2) · Сфера и шар