Мерзляк строит стереометрию от аксиом так же строго, как планиметрию седьмого класса, и первая глава проверяет не вычисления, а умение объяснить, почему фигура задана однозначно. Большая часть заданий звучит как «задаёт ли это условие единственную плоскость».
Что нужно знать
- Единственную плоскость задают: три точки не на одной прямой; прямая и точка вне её; две пересекающиеся прямые; две параллельные прямые.
- Не задают: три точки одной прямой — через них проходит бесконечно много плоскостей; две скрещивающиеся прямые — через них не проходит ни одной.
- Две различные плоскости с общей точкой пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
- Прямая, не лежащая в плоскости, имеет с ней не больше одной общей точки.
- Чтобы доказать, что четыре точки лежат в одной плоскости, проводят плоскость через три из них и показывают, что четвёртая ей принадлежит, — например, лежит на прямой, проходящей через две из первых трёх.
- Сечение строят по аксиомам: точки одной грани соединяют, остальное получают продолжением линий до пересечения с рёбрами. Плоскость через три вершины одной грани куба — это плоскость самой грани, сечение — квадрат.
- На чертеже углы искажены: прямой угол между рёбрами куба выглядит острым или тупым, поэтому величину угла доказывают, а не измеряют.
Где чаще всего ошибаются
- Говорят «через три точки проходит одна плоскость», забыв условие «не на одной прямой».
- Считают, что две скрещивающиеся прямые вместе задают плоскость.
- Измеряют угол транспортиром прямо на изображении куба.
- Отвечают, что две плоскости пересекаются в точке или по отрезку.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Геометрия · 10 класс · Мерзляк, 2023 · Глава 1 · Аксиомы стереометрии и следствия из них