Проверять себя в этой главе удобнее всего на кубе: в нём есть все три случая расположения прямых, и почти каждое задание — это пара рёбер или диагоналей куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Что нужно знать
- В кубе $AB$ и $DC$ параллельны, $AB$ и $BB_1$ пересекаются, $AB$ и $CC_1$ скрещиваются.
- Параллельными в пространстве называют прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Одного «не пересекаются» недостаточно.
- Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой, даже если все три не лежат в одной плоскости.
- Через точку вне прямой проходит ровно одна прямая, ей параллельная.
- Схема доказательства параллельности прямой и плоскости: найти в плоскости прямую, параллельную данной; убедиться, что данная прямая в плоскости не лежит; сослаться на признак.
- Если $a \parallel \alpha$, то плоскость, содержащая $a$ и пересекающая $\alpha$, пересекает её по прямой, параллельной $a$.
- Скрещивание удобно доказывать признаком: одна прямая лежит в плоскости, другая пересекает эту плоскость вне первой прямой.
- Угол между скрещивающимися прямыми находят переносом: угол между $AB$ и $B_1C_1$ равен углу между $AB$ и $BC$, то есть $90^\circ$.
Где чаще всего ошибаются
- Называют $AB$ и $CC_1$ параллельными, потому что они не пересекаются.
- Считают, что угол между скрещивающимися прямыми может быть нулевым: при нулевом угле прямые были бы параллельными.
- Думают, что прямая, параллельная плоскости, параллельна любой прямой этой плоскости: с частью из них она скрещивается.
- В доказательстве берут вспомогательную прямую, не лежащую в плоскости.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.