Перпендикулярность в пространстве шире плоской: перпендикулярные прямые могут вовсе не пересекаться. Отсюда главная мысль главы — прямая перпендикулярна плоскости, если перпендикулярна всем её прямым, а проверять достаточно двух пересекающихся.
Что нужно знать
- Перпендикулярными называют прямые, угол между которыми $90^\circ$, — и пересекающиеся, и скрещивающиеся. В кубе $AA_1 \perp BD$, хотя общих точек у них нет.
- Прямая перпендикулярна плоскости, если перпендикулярна любой прямой в этой плоскости.
- Схема доказательства: указать в плоскости две пересекающиеся прямые, доказать перпендикулярность каждой, сослаться на признак.
- Две параллельные прямые плоскости для признака не годятся: прямая может быть перпендикулярна им обеим и оставаться наклонной.
- Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны. Через точку проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой.
- Если $a \perp \alpha$, а $b \parallel \alpha$, то $a \perp b$.
- Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда перпендикулярно основанию, а значит, и диагонали основания: угол между ними $90^\circ$.
Где чаще всего ошибаются
- Отвечают, что $AA_1$ и $BD$ не могут быть перпендикулярны, раз не пересекаются.
- Берут для признака две параллельные прямые.
- Объявляют прямую перпендикулярной плоскости по одной прямой в ней.
- Путают «перпендикулярна плоскости» с «перпендикулярна какой-то прямой плоскости».
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.