Почти каждая задача главы решается одним прямоугольным треугольником: перпендикуляр и проекция — его катеты, наклонная — гипотенуза. Теорема о трёх перпендикулярах нужна, чтобы этот треугольник найти на чертеже.
Что нужно знать
- Перпендикуляр $AH$, наклонная $AM$ и проекция $HM$ образуют треугольник с прямым углом при $H$: $AM^2 = AH^2 + HM^2$.
- Перпендикуляр 8 и проекция 6 дают наклонную 10; наклонная 13 и перпендикуляр 5 — проекцию 12.
- Для наклонных из одной точки: у равных наклонных равные проекции, у большей наклонной большая проекция — и наоборот.
- Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, кратчайшего из всех отрезков к плоскости.
- Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости равно расстоянию от любой точки прямой до этой плоскости.
- Порядок применения теоремы: опустить перпендикуляр, построить проекцию наклонной, доказать перпендикулярность прямой и проекции, сделать вывод о наклонной. Обратная теорема идёт в обратную сторону.
- Если все боковые рёбра пирамиды равны, равны и их проекции — высота падает в центр окружности, описанной около основания.
Где чаще всего ошибаются
- Складывают перпендикуляр и проекцию вместо их квадратов.
- Сравнивают по проекциям наклонные, проведённые из разных точек.
- Принимают длину проекции за расстояние до плоскости.
- Ставят основание высоты пирамиды с равными рёбрами в центр вписанной окружности.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.