Оба угла главы измеряют через плоский угол, который сначала нужно построить: для прямой — угол с её проекцией, для двугранного — линейный угол. В работе на это есть задания-«порядки шагов», и пропуск шага там стоит балла.
Что нужно знать
- Угол между наклонной и плоскостью — угол между наклонной и её проекцией. Он лежит от $0^\circ$ (прямая параллельна плоскости или лежит в ней) до $90^\circ$ (прямая перпендикулярна).
- Наклонная 10 и проекция 5: косинус угла $\tfrac12$, угол $60^\circ$.
- Диагональ грани куба лежит в плоскости грани — угол $0^\circ$. Для диагонали куба $A_1C$ и плоскости $ABCD$: $\operatorname{tg}\varphi = \dfrac{AA_1}{AC} = \dfrac{1}{\sqrt2}$, это примерно $35^\circ$.
- Двугранный угол — две полуплоскости с общим ребром; его мера — линейный угол.
- Построение линейного угла: точка на ребре, в каждой грани луч перпендикулярно ребру, угол между лучами.
- Для угла между боковой гранью и основанием правильной пирамиды берут апофему: её проекция перпендикулярна стороне основания, и линейный угол получается сразу.
- Угол между пересекающимися плоскостями — меньший из двугранных, не больше $90^\circ$.
Где чаще всего ошибаются
- Ищут угол с произвольной прямой плоскости, а не с проекцией.
- Проводят лучи линейного угла не перпендикулярно ребру.
- Для $A_1C$ отвечают «$45^\circ$» — это угол диагонали грани с ребром.
- Берут для пирамиды боковое ребро вместо апофемы и получают угол ребра с основанием.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Геометрия · 10 класс · Мерзляк, 2023 · Глава 6 · Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол