Перпендикулярные плоскости. Площадь ортогональной проекции — тест

Тень фигуры на пол всегда меньше самой фигуры, и меньше ровно в косинус раз. Одна формула заменяет длинные выкладки в задачах на сечения.

Что проверяется

Перпендикулярные плоскости: определение через прямой двугранный угол, признак перпендикулярности плоскостей — плоскость, проходящая через прямую, перпендикулярную другой плоскости. Свойства перпендикулярных плоскостей: прямая, лежащая в одной из них и перпендикулярная линии пересечения, перпендикулярна другой плоскости; перпендикуляр к одной из перпендикулярных плоскостей, проведённый из точки другой, лежит в этой плоскости. Взаимное расположение трёх попарно перпендикулярных плоскостей, прямоугольный параллелепипед как пример. Ортогональное проектирование: проекция точки, отрезка и многоугольника, отличие от произвольного параллельного проектирования. Площадь ортогональной проекции многоугольника: формула через косинус угла между плоскостями, вывод для треугольника и обобщение, обратная задача — нахождение угла между плоскостями через отношение площадей, применение к сечениям многогранников.

Признак перпендикулярности плоскостей

Достаточно, чтобы одна плоскость проходила через прямую, перпендикулярную другой. Стена перпендикулярна полу именно поэтому: она содержит вертикальные линии.

Формула площади проекции

Площадь проекции равна площади фигуры, умноженной на косинус угла между плоскостями. При угле в девяносто градусов проекция вырождается в отрезок, и площадь обращается в ноль.

Как устроена работа

Одиннадцать заданий: выбор варианта, соответствие между углом между плоскостями и отношением площадей, восстановление пропусков, упорядочивание шагов доказательства перпендикулярности и расчёты площади проекции. Разбор к каждому заданию показывает ход вычислений. Работа рассчитана примерно на двадцать пять минут, отметка выставляется по шкале пятьдесят, семьдесят и восемьдесят пять процентов. Отдельные вопросы посвящены свойствам перпендикулярных плоскостей и обратной задаче о нахождении угла.

Организация тестирования

Ученик отвечает как с компьютера, так и с телефона; специальные программы не требуются — тест открывается в обычном браузере. Так как время доступа к тесту настраивается, его спокойно можно выполнять вне школы, дома. Система контроля добросовестности регистрирует переходы в посторонние вкладки и приложения во время выполнения.