Вторая половина главы — формула, которая резко упрощает задачи на угол между плоскостями: площадь ортогональной проекции многоугольника равна его площади, умноженной на косинус угла между плоскостями. Вместо построения линейного угла достаточно двух площадей.
Что нужно знать
- Плоскости перпендикулярны, если угол между ними $90^\circ$.
- Признак: плоскость, проходящая через прямую, перпендикулярную другой плоскости, перпендикулярна ей. Схема: найти такую прямую в первой плоскости, доказать её перпендикулярность второй, сослаться на признак.
- Прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей и перпендикулярная их линии пересечения, перпендикулярна второй плоскости.
- Через точку вне плоскости проходит бесконечно много плоскостей, перпендикулярных ей.
- $S_{\text{пр}} = S\cos\varphi$: при $S = 24$ и $\varphi = 60^\circ$ проекция 12. Отношение $9 : 18$ даёт косинус $\tfrac12$ и угол $60^\circ$.
- Проекция не больше фигуры: равна ей при параллельных плоскостях и вырождается при перпендикулярных.
- Ортогональное проектирование — частный случай параллельного, когда проектируют перпендикулярно плоскости проекции.
- Три грани прямоугольного параллелепипеда при одной вершине попарно перпендикулярны — это три пары.
Где чаще всего ошибаются
- Делят на косинус вместо умножения и получают проекцию больше самой фигуры.
- Берут синус угла вместо косинуса.
- Считают, что перпендикулярная плоскость через точку единственна.
- Применяют формулу к косой, неортогональной проекции.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.