Многогранный угол — пространственный аналог обычного угла, и у трёхгранного угла есть неравенства, похожие на неравенство треугольника. Вторая тема — геометрические места точек: знакомые плоские ГМТ в пространстве становятся плоскостями, прямыми и сферами.
Что нужно знать
- У трёхгранного угла три плоских угла и три двугранных.
- Каждый плоский угол меньше суммы двух других: углы $20^\circ$, $30^\circ$ и $70^\circ$ трёхгранного угла не образуют.
- Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше $360^\circ$.
- При плоских углах $50^\circ$ и $70^\circ$ третий строго меньше $120^\circ$ — наибольшее целое значение $119^\circ$.
- Выпуклый многогранный угол лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.
- Точки, равноудалённые от двух точек, — в пространстве плоскость, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину; на плоскости это была прямая.
- Точки, равноудалённые от вершин треугольника, — прямая, перпендикулярная его плоскости и проходящая через центр описанной окружности. Точки на расстоянии $R$ от данной — сфера.
- ГМТ доказывают в две стороны: каждая точка фигуры обладает свойством, и каждая точка со свойством принадлежит фигуре.
Где чаще всего ошибаются
- Переносят «серединный перпендикуляр — прямая» в пространство.
- Ограничивают третий угол только сверху и забывают, что он ещё и больше разности двух других: при $50^\circ$ и $70^\circ$ — больше $20^\circ$.
- Допускают сумму плоских углов, равную $360^\circ$: тогда угол раскрывается в плоскость.
- Доказывают ГМТ только в одну сторону.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.