Главный вопрос главы — куда падает высота пирамиды. От ответа зависит всё остальное: какой треугольник решать и можно ли пользоваться формулами правильной пирамиды.
Что нужно знать
- Боковые рёбра равны или одинаково наклонены к основанию — высота падает в центр окружности, описанной около основания.
- Боковые грани одинаково наклонены к основанию — в центр вписанной окружности.
- У правильной пирамиды эти центры совпадают; апофема — высота боковой грани, проведённая из вершины.
- $S_{\text{бок}} = \tfrac12 P l$: периметр 24 см и апофема 5 см дают 60 см².
- Правильная четырёхугольная пирамида с высотой 4 и стороной 6: от центра основания до стороны 3, апофема $\sqrt{16 + 9} = 5$.
- У $n$-угольной пирамиды $2n$ рёбер: у четырёхугольной восемь.
- Сечение, параллельное основанию, подобно основанию. Через середину высоты коэффициент $\tfrac12$, площади относятся как $1 : 4$.
- Усечённая пирамида — часть между основанием и таким сечением; её боковые грани — трапеции.
Где чаще всего ошибаются
- Для апофемы берут половину диагонали основания вместо половины стороны.
- Отношение площадей сечения и основания считают равным $1 : 2$.
- При равных боковых рёбрах ставят высоту в центр вписанной окружности.
- Считают боковые грани усечённой пирамиды параллелограммами.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Геометрия · 10 класс · Мерзляк, 2023 · Глава 10 · Пирамида и усечённая пирамида