Сложение векторов глава отрабатывает на кубе, а гомотетию переносит из планиметрии с одной новой мыслью: при гомотетии с коэффициентом $k$ объёмы меняются в $|k|^3$ раз.
Что нужно знать
- $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$; замкнутая цепочка $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{0}$.
- В кубе $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{AC_1}$ — правило параллелепипеда.
- Вектор $k\vec{a}$ при $k \lt 0$ направлен противоположно $\vec{a}$, его длина $|k| \cdot |\vec{a}|$: при $|\vec{a}| = 6$ длина $-3\vec{a}$ равна 18.
- Координаты суммы — суммы координат: $(1; 2; 0) + (3; -1; 4) = (4; 1; 4)$.
- Разложение по трём некомпланарным векторам существует и притом единственно.
- Гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$ переводит точку $X$ в $X'$, для которой $\vec{OX'} = k\,\vec{OX}$.
- Прямая переходит в параллельную ей или в себя, плоскость — в параллельную плоскость или в себя.
- Длины умножаются на $|k|$, площади — на $k^2$, объёмы — на $|k|^3$: при $k = 2$ объём растёт в 8 раз.
Где чаще всего ошибаются
- Записывают длину $-3\vec{a}$ отрицательным числом.
- Для замкнутой цепочки получают удвоенный вектор вместо нулевого.
- При $k = 2$ удваивают объём.
- Раскладывают по трём компланарным векторам и удивляются, что разложение не единственно.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Геометрия · 11 класс · Мерзляк, 2023 · Глава 2 · Действия над векторами. Гомотетия