Скалярное произведение векторов. Уравнение плоскости — тест

Скалярное произведение равно нулю ровно тогда, когда векторы перпендикулярны. Одна проверка вместо построения чертежа и поиска прямого угла.

Что проверяется

Скалярное произведение векторов: определение через длины и косинус угла, вычисление через координаты, свойства — переместительность, распределительность, вынесение числового множителя. Скалярный квадрат вектора и связь с его длиной. Косинус угла между векторами через скалярное произведение, вычисление угла между прямыми в пространстве координатным способом. Условие перпендикулярности векторов: равенство нулю скалярного произведения. Уравнение плоскости: вектор нормали, общее уравнение плоскости, уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Взаимное расположение плоскостей по их уравнениям, условие параллельности и перпендикулярности плоскостей через нормали. Угол между плоскостями и угол между прямой и плоскостью в координатах, расстояние от точки до плоскости.

Нормаль читается прямо из уравнения

В уравнении вида $Ax + By + Cz + D = 0$ коэффициенты при переменных — это координаты вектора нормали. Отсюда параллельность и перпендикулярность плоскостей проверяются в одну строку.

Знак скалярного произведения

Положительное произведение отвечает острому углу, отрицательное — тупому, ноль — прямому. Это удобный способ определить вид угла без вычисления его величины.

Как устроена работа

Одиннадцать заданий: выбор варианта, соответствие между уравнением плоскости и её вектором нормали, восстановление пропусков, упорядочивание шагов нахождения угла между векторами и вычисления скалярного произведения. Разбор к каждому заданию показывает ход вычислений. Работа рассчитана примерно на двадцать пять минут, отметка выставляется по шкале пятьдесят, семьдесят и восемьдесят пять процентов. Отдельные вопросы посвящены условию перпендикулярности и расстоянию от точки до плоскости.

Форматы и условия прохождения

Комплект работает и на школьном компьютере, и на личном смартфоне ученика. Тест можно открыть на заданный промежуток времени — это удобно для выполнения дома. От списывания помогает наблюдение за переходами в другие вкладки и приложения в ходе прохождения.