У скалярного произведения здесь появляется новое применение — уравнение плоскости. Коэффициенты при $x$, $y$ и $z$ образуют вектор нормали, и сравнивать плоскости можно, сравнивая эти векторы.
Что нужно знать
- $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos\varphi$; в координатах — сумма попарных произведений: $(2; -1; 3) \cdot (1; 4; 2) = 2 - 4 + 6 = 4$.
- По знаку видно угол: положительное произведение — острый, ноль — прямой, отрицательное — тупой.
- Скалярный квадрат равен квадрату длины: у вектора длины 5 это 25.
- Угол по координатам: скалярное произведение, длины векторов, косинус как их частное, угол по косинусу.
- Уравнение плоскости $ax + by + cz + d = 0$, где $\vec{n}(a; b; c)$ — вектор нормали. Плоскость проходит через начало координат при $d = 0$.
- Плоскости параллельны или совпадают, если нормали коллинеарны; перпендикулярны, если скалярное произведение нормалей равно нулю.
- У плоскости $2x - y + 3z - 5 = 0$ нормаль $(2; -1; 3)$: свободный член в неё не входит.
Где чаще всего ошибаются
- Включают свободный член в координаты нормали.
- Считают, что положительное скалярное произведение означает тупой угол.
- Судят о параллельности плоскостей по свободным членам.
- Теряют знак минус у координаты при перемножении.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.