Почти все задания главы решаются в прямоугольном треугольнике с катетами $r$ и $h$ и гипотенузой $l$ — половине осевого сечения. Новое по сравнению с цилиндром — развёртка: она не прямоугольник, а круговой сектор.
Что нужно знать
- Конус — тело вращения прямоугольного треугольника вокруг катета.
- $l^2 = r^2 + h^2$: при $r = 6$ и $h = 8$ образующая 10.
- Осевое сечение — равнобедренный треугольник. Если он равносторонний со стороной 10, то образующая 10, а радиус 5.
- Сечение плоскостью через вершину — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $l$; осевое сечение — его частный случай.
- Развёртка боковой поверхности — сектор радиуса $l$; длина его дуги равна длине окружности основания $2\pi r$.
- $S_{\text{бок}} = \pi r l$: при $r = 5$ и $l = 9$ это $45\pi$; для полной прибавляют $\pi r^2$.
- Усечённый конус отсекают плоскостью, параллельной основанию; его осевое сечение — равнобедренная трапеция.
Где чаще всего ошибаются
- Берут радиус развёртки равным радиусу основания.
- Считают длину дуги развёртки равной $2\pi l$.
- Подставляют в $\pi r l$ высоту вместо образующей.
- Называют осевым любое сечение через вершину.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Геометрия · 11 класс · Мерзляк, 2023 · Глава 5 · Конус и усечённый конус