В главе две темы: как пирамида сочетается с конусом и как записать сферу уравнением. В первой снова работает приём «смотри на основание», во второй — метод координат.
Что нужно знать
- Пирамида вписана в конус: основание вписано в круг основания, вершины общие, боковые рёбра — образующие, высоты совпадают.
- Пирамида описана около конуса: основание описано около круга, боковые грани касаются конуса, апофемы равны образующей.
- Конус, вписанный в правильную четырёхугольную пирамиду со стороной основания 10, имеет радиус 5 — половину стороны.
- Сфера — точки на расстоянии $R$ от центра, шар — тело, которое она ограничивает. Хорда через центр — диаметр.
- $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$. Для $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 36$ центр $(2; -1; 0)$, радиус 6.
- Положение точки: подставить координаты и сравнить с $R^2$. Точка $(3; 0; 4)$ даёт 25 и лежит на сфере $x^2 + y^2 + z^2 = 25$.
- Уравнение $x^2 + y^2 + z^2 = 0$ задаёт одну точку — начало координат.
Где чаще всего ошибаются
- Пишут радиус 36 вместо 6.
- Из $(y + 1)^2$ берут координату центра $+1$ вместо $-1$.
- Для вписанного конуса берут радиус, равный половине диагонали основания.
- Считают, что $x^2 + y^2 + z^2 = 0$ не задаёт ни одной точки.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Геометрия · 11 класс · Мерзляк, 2023 · Глава 6 · Комбинации конуса и пирамиды. Сфера и шар