Всё решает сравнение расстояния от центра до плоскости с радиусом. Глава добавляет к этому то, что выходит за обязательный минимум, — кратчайшие пути по сфере и сферический треугольник.
Что нужно знать
- $d \lt R$ — в сечении окружность, $d = R$ — касание, $d \gt R$ — общих точек нет. При $R = 7$ и $d = 9$ их нет.
- Радиус сечения $r = \sqrt{R^2 - d^2}$: при $R = 13$ и $d = 5$ он равен 12. Порядок: расстояние, прямоугольный треугольник, теорема Пифагора.
- Наибольший радиус у сечения через центр — это большой круг.
- Касательная плоскость имеет со сферой одну общую точку, и радиус в эту точку ей перпендикулярен.
- Отрезки касательных из одной внешней точки равны.
- Кратчайший путь между точками на поверхности сферы — дуга большой окружности. Поэтому самолёты летают не по параллелям.
- Сумма углов сферического треугольника больше $180^\circ$.
Где чаще всего ошибаются
- Считают радиус сечения как $R - d$.
- Сравнивают расстояние с диаметром, а не с радиусом.
- Называют кратчайшим путём дугу параллели.
- Переносят на сферу сумму углов плоского треугольника.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Геометрия · 11 класс · Мерзляк, 2023 · Глава 7 · Взаимное расположение сферы и плоскости