Любая комбинация тела вращения со сферой решается в осевом сечении: цилиндр становится прямоугольником, конус — треугольником, сфера — окружностью. Пространственная задача превращается в задачу о вписанной или описанной окружности.
Что нужно знать
- Порядок: провести осевое сечение, найти в нём окружность и многоугольник, решить планиметрическую задачу, вернуться к телам.
- Цилиндр, описанный около сферы: осевое сечение — квадрат, $h = 2R$ и $r = R$. При $R = 5$ высота 10.
- Цилиндр, вписанный в сферу: сечение — прямоугольник, вписанный в окружность; центр сферы — середина оси, $R^2 = r^2 + \left(\tfrac{h}{2}\right)^2$. При $r = 3$ и $h = 8$ радиус сферы 5.
- Конус, вписанный в сферу: вершина и окружность основания лежат на сфере, центр — на оси, в центре окружности, описанной около осевого треугольника.
- Конус, описанный около сферы: осевое сечение — равнобедренный треугольник с вписанной окружностью, центр сферы — на оси, в центре этой окружности.
Где чаще всего ошибаются
- Берут высоту описанного цилиндра равной $R$.
- В формуле для вписанного цилиндра подставляют всю высоту вместо половины.
- Считают, что центр описанной сферы всегда лежит внутри конуса: при тупоугольном осевом сечении он снаружи.
- Путают вписанную и описанную окружности осевого треугольника.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.