Формулы объёмов здесь выводятся из принципа Кавальери, и работа спрашивает не только формулы, но и сам принцип. Из него сразу видно, почему прямая и наклонная призмы с равными основаниями и высотами равновелики.
Что нужно знать
- Принцип Кавальери: если любая плоскость, параллельная данной, пересекает два тела по фигурам равной площади, объёмы тел равны.
- Объём любой призмы — прямой или наклонной — $V = S_{\text{осн}} h$.
- Пирамида: $V = \tfrac13 S_{\text{осн}} h$, втрое меньше призмы с тем же основанием и высотой. При $S = 27$ и $h = 5$ объём 45.
- Порядок: площадь основания, высота — перпендикуляр из вершины, а не ребро, — затем треть произведения.
- Утроение высоты при том же основании утраивает объём.
- Объём куба $a^3$: при $V = 64$ ребро 4.
- Для усечённой пирамиды нужны высота и площади обоих оснований.
- Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента: при $8 : 27$ линейные размеры относятся как $2 : 3$.
Где чаще всего ошибаются
- Берут высотой пирамиды боковое ребро.
- Отвечают, что при отношении объёмов $8 : 27$ размеры относятся так же.
- Забывают множитель $\tfrac13$.
- Считают, что принципу Кавальери достаточно равных оснований.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Геометрия · 11 класс · Мерзляк, 2023 · Глава 10 · Объёмы призмы и пирамиды