Объёмы тел вращения. Площадь сферы — тест

Шар занимает ровно две трети объёма описанного около него цилиндра. Этот факт Архимед считал главным своим достижением и просил высечь на надгробии.

Что проверяется

Объём цилиндра как произведение площади основания на высоту, вывод через принцип Кавальери. Объём конуса — треть произведения площади основания на высоту, объём усечённого конуса. Объём шара через радиус, объём шарового сегмента и шарового сектора, соотношение объёмов шара и описанного около него цилиндра. Площадь сферы и её связь с объёмом шара, площадь сферического пояса и сегмента. Вычисление объёмов и площадей поверхностей комбинированных тел: цилиндра с конусом, шара, вписанного в цилиндр или конус, тел, полученных вращением плоских фигур вокруг оси. Отношение объёмов и площадей поверхностей подобных тел вращения, зависимость от куба и квадрата коэффициента подобия. Задачи прикладного характера на вместимость сосудов и расход материала.

Шар и описанный цилиндр

Объём шара составляет две трети объёма описанного цилиндра, а площадь сферы равна площади боковой поверхности этого цилиндра. Оба соотношения помогают проверить вычисления.

Конус — треть цилиндра

При равных основаниях и высотах объём конуса втрое меньше объёма цилиндра. Та же тройка, что у пирамиды и призмы, и по той же причине.

Как устроена работа

Одиннадцать заданий: выбор варианта, соответствие между телом вращения и формулой его объёма, восстановление пропусков, упорядочивание шагов вычисления объёма комбинированного тела и расчёты объёмов и площадей. Разбор к каждому заданию показывает ход вычислений. Работа рассчитана примерно на двадцать пять минут, отметка выставляется по шкале пятьдесят, семьдесят и восемьдесят пять процентов. Отдельные вопросы посвящены площади сферы и отношению объёмов подобных тел.

Организация тестирования

Ученик отвечает как с компьютера, так и с телефона; специальные программы не требуются — тест открывается в обычном браузере. Тест можно открыть на заданный промежуток времени — это удобно для выполнения дома. Система контроля добросовестности регистрирует переходы в посторонние вкладки и приложения во время выполнения.