Итоговая глава сводит объёмы тел вращения в один ряд: цилиндр, конус, шар. Связывают их соотношения Архимеда для шара, вписанного в цилиндр, — их проще запомнить, чем выводить заново.
Что нужно знать
- Цилиндр: $V = \pi r^2 h$, при $r = 2$ и $h = 5$ это $20\pi$.
- Конус: $V = \tfrac13 \pi r^2 h$ — втрое меньше цилиндра с тем же основанием и высотой.
- Шар: $V = \tfrac43 \pi R^3$; сфера: $S = 4\pi R^2$, при $R = 3$ это $36\pi$.
- Шар, вписанный в цилиндр, занимает $\tfrac23$ его объёма: $\tfrac43\pi R^3$ против $2\pi R^3$. Площадь сферы равна боковой поверхности этого цилиндра.
- Радиус вдвое больше — объём шара в 8 раз больше; радиус втрое больше — площадь сферы в 9 раз больше.
- Прямоугольная трапеция, вращаясь вокруг боковой стороны, перпендикулярной основаниям, даёт усечённый конус.
- Объём составного тела — сумма объёмов частей, каждый по своей формуле.
Где чаще всего ошибаются
- Считают, что шар занимает половину описанного цилиндра.
- При утроении радиуса утраивают площадь сферы.
- Называют тело вращения трапеции цилиндром.
- Путают $4\pi R^2$ с $\tfrac43\pi R^3$.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Геометрия · 11 класс · Мерзляк, 2023 · Глава 11 · Объёмы тел вращения. Площадь сферы