Первая глава договаривается о словах: что считать фигурой, чем отрезок отличается от луча и почему прямая делит плоскость ровно на две части. Дальше эти соглашения работают в каждом доказательстве, поэтому учить их надо не «примерно», а дословно.
Что нужно знать
- Через две различные точки проходит прямая, и только одна. Отсюда: две различные прямые имеют не больше одной общей точки.
- Прямые на плоскости либо пересекаются в одной точке, либо параллельны, то есть не имеют общих точек вовсе.
- Отрезок $AB$ — все точки прямой между $A$ и $B$ вместе с концами. Луч — все точки прямой по одну сторону от данной её точки, вместе с самой точкой.
- Два луча с общим началом, дополняющие друг друга до прямой, называют дополнительными (полупрямыми).
- Если точка лежит между двумя другими, длины складываются: $AC = AB + BC$. Середина делит отрезок на две равные части.
- Аксиома полуплоскостей: прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Отрезок пересекает прямую тогда и только тогда, когда его концы лежат в разных полуплоскостях.
- Теорема Паша: прямая, пересекающая одну сторону треугольника и не проходящая через вершины, пересекает ещё ровно одну его сторону.
Где чаще всего ошибаются
- Складывают $AB$ и $BC$, не проверив, что точка $B$ лежит между $A$ и $C$. Если не между — равенство неверно.
- Считают, что луч задаётся одной точкой. Нужны начало и ещё одна точка: начало задаёт «откуда», вторая точка — «куда».
- Говорят «прямые не пересекаются, потому что так нарисовано». Параллельность — отсутствие общих точек, а не вид чертежа.
- Считают теорему Паша очевидной и не ссылаются на неё. В этом курсе она доказывается из аксиомы полуплоскостей и ссылка обязательна.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Геометрия · 7 класс · Волчкевич, 2020 · Глава 1 · Точки и прямые