Геометрическое место точек описывает фигуру условием, а не рисунком: «все точки, у которых есть такое свойство, и никакие другие». Такой язык позволяет искать точки, удовлетворяющие сразу двум требованиям, — пересечением двух известных множеств.
Что нужно знать
- Описание ГМТ состоит из двух половин: каждая точка фигуры обладает свойством и каждая точка со свойством лежит на фигуре.
- Точки на расстоянии $R$ от точки $O$ — окружность с центром $O$ и радиусом $R$. Круг — окружность вместе с внутренней частью.
- Точки, равноудалённые от концов отрезка, — серединный перпендикуляр.
- Точки внутри угла, равноудалённые от его сторон, — биссектриса.
- Точки на расстоянии $d$ от данной прямой — две прямые, параллельные ей. Точки, равноудалённые от двух параллельных, — одна прямая посередине.
- Хорда соединяет две точки окружности; наибольшая хорда — диаметр, он равен двум радиусам.
- Прямая и окружность: расстояние от центра до прямой меньше радиуса — две общие точки, равно — одна, больше — ни одной.
- Две окружности касаются, когда расстояние между центрами равно сумме радиусов (внешне) или их разности (внутренне).
Где чаще всего ошибаются
- Доказывают только одну половину («все такие точки лежат здесь») и считают задачу решённой.
- Путают круг и окружность: окружность — линия, круг — часть плоскости.
- Для точек на расстоянии от прямой рисуют одну прямую вместо двух.
- Считают наибольшим расстоянием от внешней точки до окружности сумму радиуса и радиуса, а не расстояния до центра и радиуса.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Геометрия · 7 класс · Волчкевич, 2020 · Глава 6 · Геометрические места точек