Средняя линия — самый быстрый способ уменьшить задачу: соединив середины двух сторон, сразу получаешь и параллельность, и половину длины. Из того же свойства следует, что середины сторон любого четырёхугольника образуют параллелограмм.
Что нужно знать
- Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине.
- Признак: отрезок с концами на двух сторонах треугольника, параллельный третьей и равный её половине, — средняя линия. Без условия о концах утверждение бессодержательно.
- Три средние линии отсекают треугольник с периметром вдвое меньше исходного.
- Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон, параллельна основаниям и равна их полусумме: $m = \dfrac{a+b}{2}$.
- Отрезок средней линии трапеции между диагоналями равен полуразности оснований: $\dfrac{a-b}{2}$.
- Теорема Вариньона: середины сторон любого четырёхугольника — выпуклого или невыпуклого — образуют параллелограмм, стороны которого параллельны диагоналям.
- Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
Где чаще всего ошибаются
- Считают среднюю линию трапеции полуразностью оснований. Полуразность — это отрезок между диагоналями, а сама линия равна полусумме.
- Путают среднюю линию с медианой: медиана идёт из вершины, средняя линия соединяет две середины.
- Считают, что средняя линия делит площадь треугольника пополам. Отсечённый треугольник — четверть площади.
- Применяют признак к отрезку, концы которого лежат на продолжениях сторон.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.