Теорема Фалеса отвечает на старый практический вопрос: как разделить отрезок на равные части без измерений. Её обобщение — теорема о пропорциональных отрезках — становится главным вычислительным инструментом второй половины года.
Что нужно знать
- Теорема Фалеса: параллельные прямые, отсекающие равные отрезки на одной стороне угла, отсекают равные отрезки и на другой.
- Теорема о пропорциональных отрезках: параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки.
- Для треугольника: прямая, параллельная стороне, делит две другие стороны в одинаковом отношении. Верно и обратное — это признак параллельности.
- Свойство биссектрисы треугольника: она делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон, $x : y = a : b$.
- Пример: $AB = 8$, $AC = 12$, $BC = 15$; биссектриса из $A$ даёт $BK : KC = 2 : 3$, то есть $BK = 6$ и $KC = 9$.
- Свойство диагоналей трапеции: точка пересечения делит каждую из них в отношении оснований.
- Удобный приём счёта: ввести «часть» — если отношение $2 : 3$, а вся сторона $15$, то часть равна $3$.
Где чаще всего ошибаются
- Работают с разностями отрезков вместо отношений. Все утверждения параграфа — про отношения.
- Считают, что биссектриса делит сторону пополам. Пополам — только в равнобедренном треугольнике.
- Берут отношение сторон «наоборот»: против стороны $a$ лежит отрезок, прилежащий к ней, и порядок в пропорции важен.
- Применяют теорему Фалеса к непараллельным прямым, решив, что «почти параллельны» достаточно.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Геометрия · 8 класс · Волчкевич, 2021 · §6 · Теорема Фалеса и пропорциональные отрезки