Касательные к окружности, 8 класс — тест по параграфу 9

Касательная — прямая, у которой с окружностью ровно одна общая точка, и всё в этой теме держится на одном факте: в точке касания радиус перпендикулярен касательной. Из него получаются и равенство отрезков касательных, и свойство описанного четырёхугольника.

Что проверяется

Определение касательной и её положение относительно центра: расстояние от центра до касательной равно радиусу. Свойство касательной — перпендикулярность радиусу в точке касания — и обратный ему признак. Равенство отрезков двух касательных, проведённых из одной точки, и вытекающее из него равенство углов с прямой, идущей в центр. Окружность, вписанная в угол, и вписанная окружность треугольника с центром в точке пересечения биссектрис. Свойство описанного четырёхугольника: суммы противоположных сторон равны. Длины отрезков касательных в треугольнике через полупериметр.

Почему отрезки касательных равны

Два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой и равными катетами-радиусами равны, поэтому равны и вторые их катеты — отрезки от внешней точки до точек касания. Это рассуждение восьмиклассник должен уметь воспроизвести: на нём стоит половина задач темы, включая свойство описанного четырёхугольника.

Равенство сумм сторон работает в обе стороны

Если в четырёхугольник вписана окружность, суммы его противоположных сторон равны. Верно и обратное: выпуклый четырёхугольник с равными суммами противоположных сторон описан около некоторой окружности. Поэтому задача «можно ли вписать окружность» решается одним сложением, без построений.

Как устроена работа

Одиннадцать заданий: расстояние от центра до касательной, отрезки касательных из точки, поиск стороны описанного четырёхугольника, его периметр, отрезки касательных треугольника через полупериметр, соответствие между объектом и его свойством. К каждому заданию дан разбор. Работа занимает около двадцати пяти минут, отметка по шкале пятьдесят, семьдесят и восемьдесят пять процентов.

Организация тестирования

Тестирование одинаково удобно и на компьютере, и на смартфоне. Есть возможность настроить срок сдачи, что позволяет назначать комплект на дом. Для защиты от подсказок отслеживается, покидал ли ученик вкладку с тестом ради других вкладок или приложений.