Вся тема держится на одном факте: в точке касания радиус перпендикулярен касательной. Из него получаются и равенство отрезков касательных, и свойство описанного четырёхугольника, по которому задача «можно ли вписать окружность» решается одним сложением.
Что нужно знать
- Касательная имеет с окружностью ровно одну общую точку; расстояние от центра до неё равно радиусу.
- Свойство: касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Признак — обратное утверждение.
- Отрезки двух касательных, проведённых из одной точки, равны, а прямая из этой точки в центр делит угол между ними пополам.
- Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе.
- Центр вписанной окружности треугольника — точка пересечения биссектрис; вписать окружность можно в любой треугольник.
- Отрезок касательной от вершины до точки касания равен $p - a$, где $p$ — полупериметр, $a$ — противолежащая сторона. Для сторон $13$, $14$, $15$: $p = 21$, отрезок от вершины против стороны $14$ равен $7$.
- Описанный четырёхугольник: суммы противоположных сторон равны. Верно и обратное для выпуклого четырёхугольника.
- При внешнем касании расстояние между центрами равно сумме радиусов, при внутреннем — их разности.
Где чаще всего ошибаются
- Считают касательной прямую, «почти задевающую» окружность. Общих точек должно быть ровно одна.
- Пытаются вписать окружность в любой четырёхугольник, не проверив равенство сумм противоположных сторон.
- Путают вписанную и описанную окружность четырёхугольника: у вписанной равны суммы сторон, у описанной — суммы противоположных углов.
- Строят прямой угол между касательной и произвольным радиусом, а не тем, что идёт в точку касания.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Геометрия · 8 класс · Волчкевич, 2021 · §9 · Касательные к окружности