Площади частей фигур, 8 класс — тест по параграфу 12

Последний параграф года учит находить не саму площадь, а её долю: во сколько раз одна часть фигуры больше другой. Ключ ко всем задачам один — треугольники с общей высотой относятся как их основания, и почти любая конфигурация сводится к этому наблюдению.

Что проверяется

Отношение площадей треугольников с общей высотой как отношение оснований. Чевиана — отрезок от вершины до точки противоположной стороны — и деление площади в отношении, в котором она делит сторону. Площади частей, на которые треугольник делится точкой на стороне. Площади четырёх треугольников, образованных диагоналями трапеции, и равенство площадей боковых из них. Отношение площадей подобных треугольников как квадрат коэффициента подобия и обратный переход от отношения площадей к коэффициенту.

Квадрат коэффициента — не описка

При подобии все линейные размеры умножаются на коэффициент, а площадь — на его квадрат: растянулись обе стороны прямоугольника, а не одна. Поэтому треугольник, отсечённый средней линией, составляет четверть площади, а не половину, хотя стороны у него ровно вдвое меньше. Восьмиклассники ошибаются здесь чаще всего, и в работе стоят два задания на переход в обе стороны.

Общая высота — рабочий приём

Если две части фигуры опираются на отрезки одной прямой и имеют общую вершину, их высоты совпадают, а площади относятся как основания. Этим одним соображением решаются задачи про чевиану, про точку, делящую сторону в данном отношении, и про площади частей трапеции. Никаких формул, кроме формулы площади треугольника, для них не нужно.

Как устроена работа

Одиннадцать заданий: площади частей при делении стороны, площадь после подобия, переход от отношения площадей к коэффициенту, доля отсечённого средней линией треугольника, соответствие между конфигурацией и отношением площадей. К каждому заданию дан разбор с рассуждением о высоте. Работа занимает около двадцати пяти минут, отметка ставится по шкале пятьдесят, семьдесят и восемьдесят пять процентов.

Где и как проходить тест

Комплект работает и на школьном компьютере, и на личном смартфоне ученика. Поскольку для работы можно указать окно выполнения, ученики вправе проходить её дистанционно, из дома. Для честности предусмотрена защита от списывания: система отслеживает переходы ученика на другие вкладки и в сторонние приложения.