Последний параграф года учит находить не саму площадь, а её долю. Ключ ко всем задачам один: треугольники с общей высотой относятся как основания, и почти любая конфигурация сводится к этому наблюдению.
Что нужно знать
- Треугольники с общей высотой относятся по площади как их основания.
- Чевиана — отрезок от вершины до точки противоположной стороны. Она делит площадь в том же отношении, в каком делит сторону: деление $3 : 5$ при $S = 32$ даёт части $12$ и $20$.
- Частный случай: медиана делит площадь пополам.
- Точка на стороне в отношении $1 : 2$ отсекает треугольник в треть площади: при $S = 45$ это $15$.
- Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: $S_2 = k^2 S_1$.
- Обратный переход: отношение площадей $36 : 4 = 9$ даёт коэффициент $3$.
- Средняя линия отсекает треугольник в четверть площади (коэффициент $\dfrac{1}{2}$, квадрат — $\dfrac{1}{4}$).
- В трапеции площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам и образованных диагоналями, равны между собой.
Где чаще всего ошибаются
- Умножают площадь на коэффициент подобия вместо его квадрата: при удвоении сторон площадь растёт вчетверо.
- Считают, что средняя линия отсекает половину площади.
- Применяют правило «как основания» к треугольникам с разными высотами.
- Делят площадь в отношении сторон вместо отношения отрезков, на которые поделена сторона.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Геометрия · 8 класс · Волчкевич, 2021 · §12 · Площади частей фигур