Один пример ничего не доказывает, но одного контрпримера хватает, чтобы опровергнуть. Эта несимметричность — самое полезное, что даёт глава.
Что нужно знать
- В утверждении различают условие (что дано) и заключение (что надо доказать).
- Прямое доказательство ведёт от условия к заключению цепочкой следствий.
- Доказательство от противного: допускают, что заключение ложно, и приходят к противоречию.
- Общее утверждение НЕ доказывается примерами, сколько бы их ни было.
- Для опровержения общего утверждения достаточно ОДНОГО контрпримера.
- Обратное утверждение из прямого не следует: его либо доказывают отдельно, либо опровергают контрпримером.
- Необходимое условие обязательно выполняется, достаточное гарантирует вывод; совпадают они не всегда.
Где чаще всего ошибаются
- Проверяют утверждение на нескольких примерах и объявляют доказанным.
- Считают обратное утверждение доказанным вместе с прямым.
- Путают необходимое и достаточное условие.
- В доказательстве от противного отрицают условие, а не заключение.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Вероятность и статистика · 8 класс · Высоцкий, 2025 · Глава 11 · Математические рассуждения