Элементы комбинаторики, 9 класс — тест по главе 14

Комбинаторика отвечает на вопрос «сколькими способами», и весь фокус в том, чтобы понять, важен ли порядок. От ответа на этот единственный вопрос зависит, считать перестановки или сочетания, — и именно здесь теряется больше всего баллов.

Что проверяется

Комбинаторное правило умножения для выбора из нескольких групп подряд. Перестановки и факториал: число способов расставить объекты в ряд. Число сочетаний как количество способов выбрать группу без учёта порядка, и его вычисление. Треугольник Паскаля, правило его построения и связь строк с числами сочетаний. Свойства чисел сочетаний: симметрия и сумма по строке. Формула бинома Ньютона и вычисление отдельного коэффициента разложения. Применение комбинаторики к подсчёту вероятностей в опытах с равновозможными исходами.

Порядок важен — перестановки, не важен — сочетания

Расстановка пятерых на пять мест и выбор пятерых в команду из пятнадцати — задачи разной природы, хотя обе звучат как «сколькими способами». Работа несколько раз возвращается к этому различению, в том числе в задании, где две похожие формулировки нужно развести самому.

Треугольник Паскаля строится сложением

Каждое число внутри треугольника равно сумме двух стоящих над ним, и из этого правила разом получаются и симметрия сочетаний, и то, что сумма чисел строки равна степени двойки. Это позволяет проверять ответ, не считая факториалы, и в работе есть задание на такую проверку.

Как устроена работа

Одиннадцать заданий: подсчёт по правилу умножения, вычисление факториала, число перестановок, число сочетаний, строка треугольника Паскаля, коэффициент бинома, вероятность через сочетания, соответствие между формулировкой задачи и способом подсчёта, выбор всех верных утверждений. Каждое задание сопровождается разбором с вычислениями. Работа рассчитана примерно на двадцать пять минут, отметка ставится по шкале пятьдесят, семьдесят и восемьдесят пять процентов.

Организация тестирования

Тестирование одинаково удобно и на компьютере, и на смартфоне. Тест можно открыть на заданный промежуток времени — это удобно для выполнения дома. Для честности предусмотрена защита от списывания: система отслеживает переходы ученика на другие вкладки и в сторонние приложения.