Число подмножеств множества из n элементов равно 2ⁿ — и это то же самое, что сумма всех чисел сочетаний строки треугольника Паскаля. Два факта, которые обычно учат порознь.
Что нужно знать
- Правило произведения работает для последовательных шагов, правило суммы — для взаимоисключающих случаев.
- Размещения учитывают порядок, сочетания — нет; сочетаний в $k!$ раз меньше.
- Правило Паскаля: число сочетаний из $n$ по $k$ равно сумме двух чисел предыдущей строки — это и есть построение треугольника.
- Числа сочетаний симметричны: выбрать $k$ — то же, что отбросить $n-k$.
- Сумма всех чисел строки равна $2^n$ — столько же, сколько подмножеств у множества из $n$ элементов.
- Бином Ньютона использует те же числа сочетаний в качестве коэффициентов.
- Если элементы повторяются, обычная формула перестановок завышает ответ: одинаковые наборы считаются несколько раз.
Где чаще всего ошибаются
- Считают перестановки набора с повторяющимися элементами по формуле $n!$.
- Не видят связи между числом подмножеств и суммой сочетаний.
- Путают правило суммы и правило произведения.
- Забывают проверить, различаются ли наборы порядком.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Вероятность и статистика · 9 класс · Высоцкий, 2025 · Глава 14 · Элементы комбинаторики