Формулу Бернулли полезно не заучивать, а собирать: вероятность одной подходящей последовательности умножают на число таких последовательностей. Второй множитель — это сочетания.
Что нужно знать
- Схема Бернулли: испытания независимы, исходов два, вероятность успеха во всех одинакова.
- Любая конкретная последовательность с $k$ успехами имеет вероятность $p^k(1-p)^{n-k}$ — порядок на неё не влияет.
- Число таких последовательностей равно числу сочетаний из $n$ по $k$ — отсюда и множитель в формуле.
- Сумма вероятностей по всем $k$ равна единице, и это прямое следствие бинома Ньютона.
- Наивероятнейшее число успехов лежит около $np$ — искать его перебором не нужно.
- Ожидание числа успехов равно $np$, дисперсия — $np(1-p)$.
- Схема НЕПРИМЕНИМА к выбору без возвращения: там вероятность успеха меняется от шага к шагу.
Где чаще всего ошибаются
- Применяют схему к выбору без возвращения.
- Считают вероятность одной последовательности, забыв умножить на число сочетаний.
- Ищут наивероятнейшее число успехов полным перебором.
- Путают «ровно k успехов» и «не менее k успехов».
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Вероятность и статистика · 9 класс · Высоцкий, 2025 · Глава 16 · Испытания Бернулли