Неравенство Чебышёва даёт грубую, но универсальную оценку: оно работает для ЛЮБОЙ величины с конечной дисперсией, ничего не зная о её распределении. Из него и выводится закон.
Что нужно знать
- Неравенство Чебышёва оценивает вероятность отклонения от ожидания: она не больше дисперсии, делённой на квадрат допуска.
- Оценка грубая, но применима к любой величине с конечной дисперсией — знать распределение не нужно.
- Из неравенства следует закон больших чисел: среднее независимых величин сходится к ожиданию.
- Утверждение относится к СРЕДНЕМУ по многим опытам, а не к отдельному опыту.
- Относительное отклонение убывает, а абсолютное отклонение суммы может расти — «выравнивания» не происходит.
- Условия: независимость и конечная дисперсия; без них закон неприменим.
- На законе больших чисел основаны выборочные опросы, страхование и статистический контроль качества.
Где чаще всего ошибаются
- Выводят из закона «закон выравнивания» для отдельных опытов.
- Думают, что абсолютное отклонение обязано убывать.
- Применяют неравенство Чебышёва, не проверив конечность дисперсии.
- Считают, что закон позволяет предсказать следующий исход.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Вероятность и статистика · 9 класс · Высоцкий, 2025 · Глава 19 · Закон больших чисел