Комбинаторика начинается не с формул, а с вопроса: складывать или умножать. Умножают, когда выборы идут друг за другом, складывают — когда случаи исключают друг друга.
Что нужно знать
- Правило умножения: если первый выбор можно сделать $n$ способами, а второй $m$, то вместе — $n \cdot m$ способами.
- Правило сложения применяют к взаимоисключающим случаям: способы складывают.
- Число перестановок $n$ различных элементов равно $n!$.
- По определению $0! = 1$.
- Число сочетаний из $n$ по $k$ — сколькими способами выбрать $k$ элементов БЕЗ учёта порядка.
- В треугольнике Паскаля каждое число равно сумме двух стоящих над ним; строка с номером $n$ даёт все сочетания из $n$.
- Выбрать $k$ элементов — то же самое, что выбрать остальные $n-k$: числа сочетаний симметричны.
Где чаще всего ошибаются
- Считают перестановки там, где порядок значения не имеет.
- Складывают способы последовательных выборов вместо умножения.
- Забывают, что $0! = 1$, и получают деление на ноль.
- Пересчитывают один и тот же набор несколько раз, не заметив повторов.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 25 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Вероятность и статистика · 9 класс · Высоцкий, 2023 · Глава 11 · Элементы комбинаторики