Всё решается одним вопросом, заданным до формул: различаются ли наборы порядком. Если да — размещения, если нет — сочетания, и их ровно в $k!$ раз меньше.
Что нужно знать
- Размещения — выбор $k$ элементов из $n$ С УЧЁТОМ порядка.
- Сочетания — выбор $k$ из $n$ БЕЗ учёта порядка; их в $k!$ раз меньше, чем размещений.
- Перестановки — частный случай размещений при $k = n$, их $n!$.
- Сначала решают, важен ли порядок, и только потом берут формулу.
- Правило произведения применяют к последовательным шагам, правило суммы — к взаимоисключающим случаям.
- Бином Ньютона: коэффициенты разложения $(a+b)^n$ — это числа сочетаний, то есть строка треугольника Паскаля.
- Числа сочетаний симметричны: выбрать $k$ — то же, что отбросить $n-k$.
Где чаще всего ошибаются
- Берут размещения там, где порядок не важен, и завышают ответ в $k!$ раз.
- Путают правило суммы и правило произведения.
- Не видят связи бинома Ньютона с числами сочетаний.
- Считают порядок важным, не проверив это по условию задачи.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 30 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Вероятность и статистика · 10 класс · Высоцкий, 2025 · Глава 4 · Элементы комбинаторики