Задачи со словами «хотя бы один» почти всегда проще решать через противоположное событие «ни одного»: вместо длинной суммы получается одно вычитание.
Что нужно знать
- В серии испытаний Бернулли испытания независимы, а вероятность успеха $p$ во всех одинакова.
- Вероятность конкретной последовательности зависит только от количества успехов, но не от их порядка.
- Число успехов в серии распределено биномиально.
- Вероятность «хотя бы один успех» равна $1 - (1-p)^n$.
- Геометрическое распределение описывает номер ПЕРВОГО успеха.
- Ожидаемое число успехов в серии равно $np$.
- У схемы нет памяти: сколько бы неудач ни было, следующее испытание начинается «с чистого листа».
Где чаще всего ошибаются
- Верят в «закон выравнивания» после серии неудач.
- Считают «хотя бы один» длинной суммой вместо вычитания из единицы.
- Применяют формулы схемы Бернулли к зависимым испытаниям — например к выбору без возвращения.
- Путают номер первого успеха с числом успехов.
Проверить себя
По этой же главе есть проверочная работа из 11 заданий на 30 минут. Проверка автоматическая, результат виден сразу — и по работе целиком, и по каждой теме.
Вероятность и статистика · 10 класс · Высоцкий, 2025 · Глава 5 · Серии последовательных испытаний