Рассеивание величин, 11 класс — тест по главе 8

Ожидание говорит, где находится центр распределения, но ничего не говорит о том, насколько далеко от него разбегаются значения. Дисперсия закрывает этот пробел, а её главное рабочее свойство — складываться у независимых слагаемых.

Что проверяется

Дисперсия дискретной случайной величины по определению — как ожидание квадрата отклонения — и вычисление её по таблице распределения. Формула через средний квадрат: ожидание квадрата величины минус квадрат ожидания. Стандартное отклонение и его единицы измерения. Свойства дисперсии: неизменность при сдвиге, умножение на квадрат множителя при растяжении, равенство нулю у постоянной величины. Дисперсия суммы независимых случайных величин. Готовые формулы: дисперсия числа успехов в серии испытаний и дисперсия номера первого успеха. Сравнение разброса двух распределений с одинаковым ожиданием.

Дисперсии складываются, но только у независимых

Именно из этого свойства растёт вся дальнейшая статистика: дисперсия суммы $n$ независимых наблюдений в $n$ раз больше одиночной, а дисперсия их среднего — в $n$ раз меньше. Отсюда и знаменитый корень из объёма выборки в оценках точности. В работе есть задание, показывающее этот механизм на числах.

Сдвиг разброса не меняет, растяжение меняет квадратично

Прибавление постоянной переносит распределение целиком и дисперсию не трогает; умножение на число увеличивает дисперсию в квадрат раз, а стандартное отклонение — линейно. Оба свойства проверяются отдельными заданиями, потому что их чаще всего смешивают.

Как устроена работа

Одиннадцать заданий: дисперсия по таблице распределения, дисперсия через средний квадрат, стандартное отклонение, поведение при сдвиге и умножении, дисперсия суммы независимых величин, дисперсия числа успехов, сравнение разброса, соответствие между величиной и её дисперсией, выбор всех верных утверждений. К каждому заданию дан разбор с вычислениями. Работа рассчитана примерно на тридцать минут, отметка ставится по шкале пятьдесят, семьдесят и восемьдесят пять процентов.

Где и как проходить тест

Пройти комплект можно с любого устройства — настольного компьютера, ноутбука, планшета или смартфона. Так как время доступа к тесту настраивается, его спокойно можно выполнять вне школы, дома. Предусмотрен контроль честности: переключение на другие вкладки и приложения во время теста отслеживается.