Закон больших чисел, 11 класс — тест по главе 9

Дисперсия среднего убывает с ростом числа наблюдений — из одного этого факта и неравенства Чебышёва получается закон больших чисел. Глава показывает, как наблюдение о частотах превращается в доказанное утверждение с числовой оценкой.

Что проверяется

Неравенство Чебышёва: оценка сверху вероятности того, что величина отклонится от своего ожидания не меньше чем на заданную величину. Условия его применимости и характер получаемой оценки. Дисперсия среднего арифметического независимых наблюдений и её убывание с ростом их числа. Закон больших чисел в форме теоремы Чебышёва: сближение среднего арифметического с ожиданием. Теорема Бернулли: сближение частоты события с его вероятностью. Оценка числа наблюдений, нужного для заданной точности. Разграничение того, о чём закон говорит, и того, о чём не говорит.

Оценка Чебышёва грубая, зато универсальная

Она не требует знать распределение — хватает ожидания и дисперсии, — и поэтому даёт заведомо завышенную границу. Для конкретного распределения истинная вероятность обычно во много раз меньше, но зато оценка верна всегда. В работе это показано на числах: полученная граница сравнивается с тем, что на деле происходит с монетой.

Оценка числа наблюдений выводится из неравенства

Если потребовать, чтобы вероятность большого отклонения не превышала заданной, неравенство Чебышёва прямо даёт нужное число наблюдений. Это и есть школьный ответ на вопрос «сколько человек нужно опросить», и работа доводит его до конкретного расчёта.

Как устроена работа

Одиннадцать заданий: оценка по неравенству Чебышёва, дисперсия среднего, оценка числа наблюдений, смысл теоремы Бернулли, разбор ошибки «закона среднего», сравнение оценки с истинной вероятностью, соответствие между утверждением и теоремой, выбор всех верных утверждений. К каждому заданию дан разбор с вычислениями. Работа рассчитана примерно на тридцать минут, отметка ставится по шкале пятьдесят, семьдесят и восемьдесят пять процентов.

Как и на чём выполнять тест

Ученик отвечает как с компьютера, так и с телефона; специальные программы не требуются — тест открывается в обычном браузере. Есть возможность настроить срок сдачи, что позволяет назначать комплект на дом. Для защиты от подсказок отслеживается, покидал ли ученик вкладку с тестом ради других вкладок или приложений.