Случайное блуждание, 11 класс — тест по главе 14

Частица стоит на числовой прямой и каждый шаг делает вправо или влево по жребию. Эта простейшая модель замыкает курс: в ней разом работают схема Бернулли, случайная величина, ожидание, дисперсия и закон больших чисел.

Что проверяется

Устройство простого одномерного блуждания: шаги равной длины, независимость шагов, вероятности движения вправо и влево. Положение частицы после заданного числа шагов как случайная величина и его выражение через число шагов вправо. Множество достижимых положений и правило чётности: за $n$ шагов частица оказывается только в точках той же чётности, что и $n$. Вероятности отдельных положений и их связь с биномиальным распределением. Математическое ожидание и дисперсия положения при симметричном блуждании. Вероятности переходов и возвращение в начало. Несимметричное блуждание и смещение ожидания.

Чётность отсекает половину точек сразу

После чётного числа шагов частица не может оказаться в нечётной точке, и наоборот: каждый шаг меняет чётность координаты. Это соображение решает целый класс задач без всяких вычислений, и в работе оно проверяется отдельно.

Разброс растёт как корень из числа шагов

Дисперсия положения при симметричном блуждании равна числу шагов, поэтому типичное удаление от начала — порядка корня из этого числа, а не самого числа. Ожидание при этом остаётся нулевым: частица в среднем никуда не уходит, но расползается всё шире. Работа доводит это различение до расчёта.

Как устроена работа

Одиннадцать заданий: достижимые положения и чётность, вероятность конкретного положения, число путей, ожидание и дисперсия положения, возвращение в начало, несимметричное блуждание, соответствие между событием и его вероятностью, выбор всех верных утверждений. К каждому заданию дан разбор с вычислениями. Работа рассчитана примерно на тридцать минут, отметка ставится по шкале пятьдесят, семьдесят и восемьдесят пять процентов.

Организация тестирования

Ученик отвечает как с компьютера, так и с телефона; специальные программы не требуются — тест открывается в обычном браузере. Учитель может задать период, в течение которого доступен тест, поэтому его допустимо выполнять и дома. Для защиты от подсказок отслеживается, покидал ли ученик вкладку с тестом ради других вкладок или приложений.