Московская математическая олимпиада, заключительный этап, 8 класс — тренировочный комплект

«МОШ · Математика · Заключительный этап · 8 класс» — тренировочный комплект в духе Московской математической олимпиады. Заключительный этап традиционно построен на задачах с обоснованием, поэтому для автоматической проверки те же сюжеты переложены на короткий однозначный ответ: остаток, количество, наибольший делитель. Задания составлены с нуля по мотивам тем этапа и не повторяют официальные варианты.

Какие темы охватывает набор

Первый блок — делимость: почему разность двух чисел, записанных одними и теми же цифрами в разном порядке, всегда кратна девяти, признак делимости на 9 через сумму цифр, наибольший делитель произведения трёх подряд идущих натуральных чисел. Второй блок — остатки и последние цифры степеней: у степеней числа последняя цифра повторяется с периодом, и вся задача сводится к остатку показателя при делении на длину периода. Третий блок отведён комбинаторному подсчёту, который на олимпиаде обычно спрятан в сюжет про знакомства или доску: число пар в компании, число диагоналей выпуклого многоугольника, число клеток одного цвета на шахматной доске. Отдельно разбирается инвариант чётности — приём, которым восьмиклассник доказывает невозможность расстановки, не перебирая варианты.

Как устроена работа

В комплекте 15 заданий с автоматической проверкой: числовой ответ, выбор одного варианта и выбор нескольких. Все ответы целые, поэтому округление нигде не требуется. Порядок вариантов ответа перемешивается при каждом запуске работы.

Разбор и подготовка

К каждому заданию после сдачи открывается пояснение с ходом рассуждения: как из записи числа по разрядам следует кратность девяти, откуда берётся период последней цифры степени и почему среди трёх подряд идущих чисел обязательно найдутся кратное двум и кратное трём. Учитель видит статистику класса по каждому заданию.

Кому пригодится

Набор подойдёт учителю математики для олимпиадного кружка и внеурочного занятия, а восьмикласснику — для самопроверки перед заключительным этапом: он показывает, владеет ли ученик приёмами теории чисел, без которых олимпиадная задача не поддаётся.

Условия прохождения

Ученик отвечает как с компьютера, так и с телефона; специальные программы не требуются — тест открывается в обычном браузере. Тест можно открыть на заданный промежуток времени — это удобно для выполнения дома. Чтобы снизить риск списывания, фиксируются попытки переключиться на другие вкладки браузера или другие приложения.